Class 10 Dighat Somikoron kose dekhi 1.1| দশম শ্রেণী দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.১ |dighat somikoron math class 10|kose dekhi 1.1 class 10|মাধ্যমিক গণিত সমাধান ২০২৫ | madhyamik math solve 2025
এক নজরে >>
Class 10 Dighat Somikoron kose dekhi 1.1| দশম শ্রেণী দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.১
1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা
বুঝে লিখি
(i) $x^2-7x+2$
সমাধান:
বহুপদী সংখ্যামালাটির $x$ সর্বোচ্চ ঘাত 2, তাই এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
(ii) $7 x^5-x(x+2)$
সমাধান:
$\begin{aligned} & 7 x^5-x(x+2) =7 x^5-x^2-2 x\end{aligned}$ বহুপদী সংখ্যামালাটির $x$ সর্বোচ্চ ঘাত 5, তাই এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
(iii) $2 x(x+5)+1$
সমাধান:
$2 x(x+5)+1=2 x^2+10 x+1$ বহুপদী সংখ্যামালাটির $x$ সর্বোচ্চ ঘাত 2, তাই এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
(iv) 2x-1
সমাধান:
2x-1 বহুপদী সংখ্যামালাটির $x$ সর্বোচ্চ ঘাত 1, তাই এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি ax2+ bx+c=0 যেখানে a,b,c বাস্তব সংখ্যা এবং $a \neq 0$ আকারে লেখা যায় তা লিখি।
(i) $x-1+\frac{1}{x}=6,(x \neq 0)$
সমাধান:
$x-1+\frac{1}{x}=6,(x \neq 0)$
বা, $\frac{x^2-x+1}{x}=6$
বা, $x^2-x+1=6 x$
বা, $x^2-x-6 x+1=0$
বা, $x^2-7 x+1=0$
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2+ bx+c=0 আকারে লেখা যায়।
(ii) $x+\frac{3}{x}=x^2,(x \neq 0)$
সমাধান:
$x+\frac{3}{x}=x^2,(x \neq 0)$
বা, $\frac{x^2+3}{x}=x^2$
বা, $x^3=x^2+3$
বা, $x^3-x-3=0$
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2+ bx+c=0 আকারে লেখা যায় না।
(iii) $x^2-6\sqrt{x}+2=0$
সমাধান:
$x^2-6\sqrt{x}+2=0$
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2+ bx+c=0 আকারে লেখা যায় না।
(iv) $(x-2)^2=x^2-4x+4$
সমাধান:
$(x-2)^2=x^2-4x+4$ এটি একটি অভেদ।
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2+ bx+c=0 আকারে লেখা যায় না।
3. x6 -x3-2=0 সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করো।
$x^6-x^3-2=0$
বা,$\left(x^3\right)^2-x^3-2=0$
∴ x3 কে y ধরলে $(y)^2-y-2=0$
∴ x3 এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
Class 10 Dighat Somikoron kose dekhi 1.1| দশম শ্রেণী দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.১
4.(i) $(a-2)x^2+3x+5=0$ সমীকরণটি a এর কোন মনের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না নির্ণয় করি।
সমাধান:
a-2=0
বা, a=2
∴ a=2 এর জন্য সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না ।
(ii) $\frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x},(x\neq0,x\neq4)$ কে $ax^2+bx+c=0(a\neq0)$ দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে x – এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
$ \frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x}$
বা,$3x^2=4-x$
বা,$3x^2-4+x=0$
বা,$3x^2+x-4=0$
∴ x -এর সহগ 1 হবে ।
(iii) $3x^2+7x+23=(x+4)(x+3)+2$ কে $ax^2+bx+c=0,(a\neq0)$ দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি।
বা,$3x^2+7x+23=(x+4)(x+3)+2$
বা,$3x^2+7x+23=x^2+3x+4x+12+2$
বা,$3x^2+7x+23=x^2+7x+14$
বা,$3x^2+7x+23-x^2-7x-14=0$
বা,$2x^2+9=0$
বা,$2x^2+0.x+9=0$
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2+ bx+c=0 আকারে প্রকাশ করা গেল।
(iv) $(x+2)^3=x(x^2-1)$ -সমীকরণটিকে $ax^2+bx+c=0,(a\neq0)$ দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং $x^2,x,ও x^0$ এর সহগ লিখি।
সমাধান:
$(x+2)^3=x(x^2-1)$
বা,$x^3+3x^2\cdot2+3x\cdot2^2+2^3=x^3-x$
বা,$x^3+6x^2+3x\times4+8=x^3-x$
বা,$x^3+6x^2+12x+8-x^3+x=0$
বা,$6x^2+13x+8=0$
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2+ bx+c=0 আকারে প্রকাশ করা গেল, এখানে x2এর সহগ 6, x এর সহগ 13 এবং x0 -এর সহগ 8 ।
Class 10 Dighat Somikoron kose dekhi 1.1| দশম শ্রেণী দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.১
5. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) 42- কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।
সমাধান:
ধরি, একটি অংশ x এবং অপর অংশ (42-x)
শর্তানুসারে,
$x^2=(42-x)$
বা,$x^2-42+x=0$
বা,$x^2+x-42=0$
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল $x^2-42+x=0$
(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুনফল 143
সমাধান: ধরি একটি সংখ্যা x এবং অপর সংখ্যাটি হবে (x+2) [ যেহেতু দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা]
শর্তানুসারে,
x(x+2) = 143
বা, x2 +2x =143
বা, x2 +2x-143=0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2 +2x-143=0
(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313
সমাধান: ধরি, একটি সংখ্যা x ও অপর সংখ্যাটি (x+1)
শর্তানুসারে,
x2+(x+1)2=313
বা,x2+x2+2x+1=313
বা,2x2+2x+1=313
বা,2x2+2x+1-313=0
বা,2x2+2x-312=0
বা,2(x2+x-156)=0
বা,x2+x-156=0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2+x-156=0
Class 10 Dighat Somikoron kose dekhi 1.1| দশম শ্রেণী দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.১
আরও পড়ুন: WB 10th Pass Scholarship 2024: মাধ্যমিক পাশ থাকলেই পাবে 12000 টাকা
6. নিচের বিবৃতি গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) একটি আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি।
সমাধান: ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ x মিটার
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (x+3) মিটার
∴ আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{x^2+(x+3)^2}$ মিটার
শর্তানুসারে,
$\sqrt{x^2+(x+3)^2}$=15
বা,x2+(x+3)2=(15)2
বা,x2+x2+6x+9=225
বা,2x2+6x+9=225
বা,2x2+6x+9-225=0
বা,2x2+6x-216=0
বা,2(x2+3x-108)=0
বা,x2+3x-108=0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2+3x-108=0
(ii) এক ব্যাক্তি 80 টাকায়ে কয়েক কিগ্রা চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায়ে তিনি আর ও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন তবে তার কিগ্রা প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হত।
সমাধান: ধরি, তিনি 80 টাকায় x কিগ্রা চিনি ক্রয় করলেন।
∴ প্রতি কিগ্রা চিনির = $\frac{80}{x}$ টাকা
যদি তিনি 80 টাকায় (x+4) কিগ্রা চিনি কিনতেন তবে, চিনির দাম হত $\frac{80}{x+4}$
শর্তানুসারে,
$\frac{80}{x}-\frac{80}{x+4}=1$
বা,$80\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+4}\right)=1$
বা,$80\times\frac{x+4-x}{x(x+4)}=1$
বা,$80\times\frac{4}{x^2+4x}=1$
বা,$\frac{320}{x^2+4x}=1$
বা,x2+4x=320
বা,x2+4x-320=0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2+4x-320=0
(iii) দুটি স্টেশন এর মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি ।একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশন এ গেল । ট্রেন টির গতিবেগ ঘণ্টায়ে 5 কিমি বেশি হলে ট্রেন টির দ্বিতীয় স্টেশন এ যেতে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগত ।
সমাধান: ধরি, ট্রেনের গতিবেগ x কিমি/ঘণ্টা
∴ 300 কিমি যেতে ট্রেনটির সময় লাগবে $\frac{300}{x}$ ঘণ্টা
ট্রেনের গতিবেগ (x+5) কিমি/ ঘণ্টা হলে, 300 কিমি যেতে সময় লাগবে $\frac{300}{x+5}$ ঘণ্টা
শর্তানুসারে,
বা,$\frac{300}{x}-\frac{300}{x+5}=2$
বা,$\frac{300(x+5)-300x}{x(x+5)}=2$
বা,$\frac{300x+1500-300x}{x(x+5)}=2$
বা,$\frac{1500}{x(x+5)}=2$
বা,$2x(x+5)=1500$
বা,$2x^2+10x-1500=0$
বা,$x^{2}+5x-750=0$
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল $x^{2}+5x-750=0$
(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায়ে বিক্রি করলেন। তিনি যত টাকায়ে ঘড়ি টি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তার লাভ হল।
সমাধান: ধরি, ঘড়িটির ক্রয়মূল্য x টাকা
∴ লাভ = (336-x) টাকা
∴ শতকরা লাভ $=\frac{336-x}{x}\times100\%$
শর্তানুসারে,
$\frac{336-x}{x}\times100=x$
বা,$\frac{33600-100x}{x}=x$
বা,$x^2=33600-100x$
বা,$x^2+100x-33600=0$
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল $x^2+100x-33600=0$
(v) স্রোতের বেগ ঘণ্টায়ে 2 কিমি হলে, রতন মাঝি স্রোতের অনুকুলে 21 কিমি গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আস্তে 10 ঘণ্টা সময় লাগে।
সমাধান: ধরি, নৌকার বেগ x কিমি/ঘণ্টা
∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = (x+2) কিমি /ঘন্টা
এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (x-2) কিমি/ঘন্টা
স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি যেতে সময় লাগে $\frac{21}{x+2}$ ঘণ্টা এবং স্রোতের প্রতিকূলে 21 কিমি ফিরে আসতে সময় লাগে $\frac{21}{x-2}$ ঘণ্টা
শর্তানুসারে,
$\frac{21}{x+2}+\frac{21}{x-2}=10$
বা,$\frac{21x-42+21x+42}{(x+2)(x-2)}=10$
বা,$\frac{42x}{x^2-4}=10$
বা,10x2 – 40 = 42x
বা,10x2 – 42x – 40 = 0
বা,2(5x2 – 21x – 20) = 0
বা,5x2 – 21x – 20 = 0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল 5x2 – 21x – 20 = 0
(vi) আমাদের বারির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেহ্মা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে । তারা উভয় একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায় শেষ করতে পারে ।
সমাধান:
শর্তানুসারে,
$2(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3})=1$
বা,$\frac{(x+3)+x}{x(x+3)}=\frac{1}{2}$
বা,$\frac{2x+3}{x^2+3x}=\frac{1}{2}$
বা,x2 + 3x = 4x + 6
বা,x2 + 3x – 4x – 6 = 0
বা,x2 – x – 6= 0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2 – x – 6= 0
(vii) দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক টি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেহ্মা 6 বেশি এবং অঙ্ক দ্বয়ের গুনফল সংখ্যাটি থেকে 12 কম ।
সমাধান: ধরি,দশক স্থানের অঙ্কটি হল x
∴ একক স্থানের অঙ্কটি হল (x+6)
∴ সংখ্যাটি হল=$x\times10+x+6=11x+6$
শর্তানুসারে,
$x(x+6)=11x+6-12$
বা,$x^2+6x=11x-6$
বা,$x^2+6x-11x+6=0$
বা,$x^2-5x+6=0$
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল $x^2-5x+6=0$
(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রসস্থ একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার।
সমাধান: ধরি, রাস্তাটি x মিটার চওড়া
রাস্তা সহ মাঠের দৈর্ঘ্য = $(45+x+x)$ মিটার =$(2x+45)$
এবং রাস্তা সহ মাঠের প্রস্থ = $(40+x+x)$ মিটার =$(2x+40)$
∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = $(45 + 2x) × (40 + 2x)$ বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল =${(45 + 2x) × (40 + 2x) – (45 × 40)}$ বর্গমিটার
শর্তানুসারে,
${(45 + 2x) × (40 + 2x) – (45 × 40)}$=450
বা,1800 + 90x + 80x + 4x2 – 1800 = 450
বা,4x2 + 170x – 450 = 0
বা,2 (2x2 + 85x – 225) = 0
বা,2x2 + 85x – 225 = 0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল 2x2 + 85x – 225 = 0
Class 10 Dighat Somikoron kose dekhi 1.1| দশম শ্রেণী দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.১
